Question

13．已知函數(shù)f（x）=（a-1）x^a（a∈R），g（x）=|lgx|．
（Ⅰ）若f（x）是冪函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程g（x-1）+f（1）=0在區(qū)間（1，3）上有兩不同實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），求$a+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用冪函數(shù)的定義能求出a．
（Ⅱ）函數(shù)y=g（x-1）與y=1-a在x∈（1，3）上有兩不同交點(diǎn)，y=g（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}lg（x-1），x≥2\\-lg（x-1），1＜x＜2\end{array}\right.$，推導(dǎo)出1-lg2＜a＜1，x₁∈（1，2），x₂∈（2，3），由此能求出$a+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（a-1）x^a（a∈R），f（x）是冪函數(shù)，
∴由題有a-1=1，得a=2．      （2分）
（Ⅱ）方程化為g（x-1）=1-a，
由題有函數(shù)y=g（x-1）與y=1-a在x∈（1，3）上有兩不同交點(diǎn)．             （3分）
y=g（x-1）=|lg（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}lg（x-1），x≥2\\-lg（x-1），1＜x＜2\end{array}\right.$
在x∈（1，2]時(shí)，y=g（x-1）單調(diào)遞減，y=g（x-1）∈[0，+∞），
在x∈[2，3）時(shí)，y=g（x-1）單調(diào)遞增，y=g（x-1）∈[0，lg2），5分
所以0＜1-a＜lg2，即1-lg2＜a＜1，（7分）
由x₁＜x₂，可知x₁∈（1，2），x₂∈（2，3），
且$\left\{\begin{array}{l}-lg（{x_1}-1）=1-a\\ lg（{x_2}-1）=1-a\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}lg（{x_1}-1）=-（1-a）\\ lg（{x_2}-1）=1-a.\end{array}\right.$
相加消去a，可得lg（x₁-1）+lg（x₂-1）=0，即（x₁-1）（x₂-1）=1，
展開并整理得x₁x₂=x₁+x₂，即$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1$．              （11分）
所以$a+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的取值范圍為（2-lg2，2）．              （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查代數(shù)式的值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．