Question

8．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，且|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-1，$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影是-3，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BA}$．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（2）若λ=$\frac{1}{3}$，求|$\overrightarrow{OD}$|；
（3）若OD⊥BA，求λ．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=120°，并求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值．
（2）由條件求得|$\overrightarrow{a}$|=6．再根據(jù)λ=$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BA}$，可得 $\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，從而求得|$\overrightarrow{OD}$|=|$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow）}^{2}}$ 的值．
（3）若OD⊥BA，則$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BA}$=（ λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow$ ）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=52λ-10=0，求得 λ的值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-1，且|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-1，
可得2cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-1，求得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=120°．
再由，$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影是-3，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=|$\overrightarrow$|•（-3）=-6．
（2）由（1）可得|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=|$\overrightarrow{a}$|•（-$\frac{1}{2}$）=-3，∴|$\overrightarrow{a}$|=6．
再根據(jù)λ=$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），即 $\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，
∴|$\overrightarrow{OD}$|=|$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}{•\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\frac{4}{9}\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}×36+\frac{4}{9}×6×2×（-\frac{1}{2}）+\frac{4}{9}×4}$=$\frac{\sqrt{76}}{3}$．
（3）若OD⊥BA，則$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BA}$=（ λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow$ ）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=λ${\overrightarrow{a}}^{2}$+（λ-1）${\overrightarrow}^{2}$+（1-2λ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=36λ+4（λ-1）+（1-2λ）（-6）=52λ-10=0，
求得 λ=$\frac{5}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的加減法以及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．