Question

偶函數f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時，f（x）=1-x，則關于x的方程f（x）=log₉（x+1）解的個數是

 

個．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的奇偶性、單調性和周期性畫出函數f（x）和y=log₉（x+1）的圖象，觀察圖象交點個數，進而即可得到答案．

解答： 解：①設x∈[-1，0]，則（-x）∈[0，1]，
又∵函數f（x）是偶函數，
∴f（x）=f（-x）=-（x+1）．
由函數f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），
∴函數f（x）是周期為2的函數．
因此可以先畫出y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象，根據周期性即可畫出整個定義域內的圖象．
②畫出g（x）=log₉（x+1）的圖象，

由圖象和上面的分析可知：函數y=f（x） 與y=g（x）有且僅有8個交點，即關于x的方程f（x）=log₉（x+1）解的個數是8．
故答案為：8

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數的奇偶性，函數的周期性，熟練掌握函數的奇偶性、單調性和周期性及畫出圖象是解題的關鍵．