Question

已知數(shù)列{a_n}中，，且a_n+1=（t+1）a_n-ta_n-1（n≥2）．
（1）若t≠1，求證：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）若，試比較與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)t≠1時(shí)，a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），故，由此能夠證明{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為t²-t，公比為t的等比數(shù)列．
（2）當(dāng)t≠1時(shí)，，即，故，，…，，將上列各等式相加得，由此能夠得到．
（3）由，得，由，和，知2ⁿ＞tⁿ，2t＞1，由此入手能夠比較與的大�。�
解答：解：（1）由已知得，當(dāng)t≠1時(shí)，
a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）…（2分）
∴，
又∵
∴{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為t²-t，公比為t的等比數(shù)列…（4分）
（2）由（1）得，當(dāng)t≠1時(shí)，，
即（5分）
∴，，…，，
將上列各等式相加得，
∴…（6分）
當(dāng)t=1時(shí)，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁=0，
∴a_n=1
綜上可知…（8分）
（3）由，
得…（9分）
∵，
又，
∴2ⁿ＞tⁿ，2t＞1，
∴（2t）ⁿ＞1，
∴，
∴…（11分）
∴………
=
=．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．