Question

若向量

a

=（1，0），

b

=（0，1），且

c

•

a

=

c

•

b

=1，則|

c

+t

a

+

1

t

b

|（t＞0）的最小值是（　�。�

• A、2
• B、2

  2

• C、4
• D、4

  2

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：設

c

=（x，y），由條件可得

c

=（1，1），求得|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

(t+ 1 t )2+2(t+ 1 t

)．令μ=t+

1

t

，t＞0，則μ≥2．再根據(jù)|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

μ2+2μ

(μ+1)2-1

，求得它的最小值．

解答： 解：設

c

=（x，y），由且

c

•

a

=

c

•

b

=1可得

c

=（1，1），
則 

c

+t

a

+

1

t

b

=（1，1）+（t，0）+（0，

1

t

）=（1+t，1+

1

t

），
故|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

(1+t)2+(1+ 1 t )2

=

(t+ 1 t )2+2(t+ 1 t

)．
令μ=t+

1

t

，t＞0，則μ≥2．
所以，|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

μ2+2μ

 

(μ+1)2-1

≥2，當且僅當μ=2時，等號成立，
故選：B．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，求向量的模，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．