Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4 a_n-3n+1，n∈N^*.

（1）證明數列{a_n-n}是等比數列；

（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；

（3）證明不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立。

Answer 1

（1）數列{ a_n-n }是首項為1，且公比為4的等比數列（2）S _n=（3）不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立

解析:

（1）證明：由題設a_n+1=4 a_n-3n+1，得a_n+1  ^_（n+1）=4 (a_n-n), n∈N^*，

        又a₁-1=1，所以數列{ a_n-n }是首項為1，且公比為4的等比數列。

       （2）由（1）可知a_n - n=4 ^n-1，于是數列{ a_n}的通項公式為a_n= 4 ^n-1+n，

        所以數列{a_n}的前n項和為S _n=。

       （3）證明：對任意的n∈N^*，

       

                 。

         ∵對任意n∈N^*，，∴，

         所以不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立。