Question

已知函數(shù)f(x)=a·4^x-2^x+1+a+3。
（1）若a=0，解方程f(2x)=-5；
（2）若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在實數(shù)x₀∈[-1，1]，使f(x₀)=4，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）若a=0，由f(2x)=-5，即，解得：x=1。
（2）若a=1，則，
設(shè)，且，
則
，

①當時，有，
∴，∴，
∴f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)；
②當時，有，
∴，∴，
∴f(x)在(-∞，0]上是減函數(shù)；
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[0，+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(-∞，0]。
（3）設(shè)，由，得，
且，
∴存在，使得，即，
令，
若a≠0，則函數(shù)g(t)的對稱軸是，
由已知得：方程g(t)=0在上有實數(shù)解，
∴，    ①
或，              ②
由不等式①得：，∴，
由不等式組②得：，∴，
所以，實數(shù)a的取值范圍是。