Question

已知數(shù)列{a_k}滿(mǎn)足：a1=

1

2

且ak+1=ak+

1

n

a

2 k

（k=1，2，…，n-1）其中n是一個(gè)給定的正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{a_k}是一個(gè)單調(diào)數(shù)列；
（2）證明：對(duì)一切1＜m＜n，m∈N有：

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

．

Answer 1

分析：（1）由ak+1=ak+

1

n

a

2 k

，知a_k≠0，由a1=

1

2

且ak+1=ak+

1

n

a

2 k

（k=1，2，…，n-1），知a_k+1-a_k=ak+

1

n

a

2 k

-a_k=

1

n

a

2 k

＞0，由此能夠證明數(shù)列{a_k}是一個(gè)單調(diào)數(shù)列．
（2）由遞推公式，得

1

ak+1

=

n

ak(n+ak)

=

1

ak

-

1

n+ak

，

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，令k=1，2，3，…，n-1，得：

1

ak

-

1

ak+1

=

1

n+ak

＞

1

n+1

，所以

1

n+1

＜

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，再令k=1，2，3，…，m-1，能夠證明對(duì)一切1＜m＜n，m∈N有：

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

．

解答：證明：（1）∵ak+1=ak+

1

n

a

2 k

 （k=1，2，…，n-1），∴a_k≠0．∵a1=

1

2

，
∴a_k+1-a_k=ak+

1

n

a

2 k

-a_k=

1

n

a

2 k

＞0，故數(shù)列{a_k}是一個(gè)遞增數(shù)列，即數(shù)列{a_k}是一個(gè)單調(diào)數(shù)列．
（2）由遞推公式，得

1

ak+1

=

n

ak(n+ak)

=

1

ak

-

1

n+ak

，
∴

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，
令k=1，2，3，…，n-1，有

1

a1

-

1

a2

＜

1

n

，

1

a2

-

1

a3

＜

1

n

，
…

1

an-1

-

1

an

＜

1

n

，
∴

1

a1

-

1

an

＜

n-1

n

，
∴

1

a1

-

1

an

＜

n-1

n

，∴a_n＜1，
從而有：

1

ak

-

1

ak+1

=

1

n+ak

＞

1

n+1

，
∴

1

n+1

＜

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，
令k=1，2，3，…，m-1，有

1

n+1

＜

1

a1

-

1

a2

＜

1

n

，

1

n+1

＜

1

a2

-

1

a3

＜

1

n

，
…

1

n+1

＜

1

am-1

-

1

am

＜

1

n

，
∴

m-1

n+1

＜

1

a1

-

1

am

＜

m-1

n

，將a1=

1

2

代入整理得

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

∴對(duì)一切1＜m＜n，m∈N有：

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列是單調(diào)數(shù)列的證明，考查不等式的證明．本題考查數(shù)列和不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．