Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，橢圓C上一點到點Q（1，0）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A、B為橢圓上的兩個動點，△ABO的面積為

3

，M為AB中點，判斷|AB|²+4|OM|²是否為定值，并求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由離心率e=

1

2

=

c

a

，可設(shè)a=2c，b=

3

c，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，因此可設(shè)橢圓上的一點P(2ccosθ，

3

csinθ)，利用兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
與橢圓的方程聯(lián)立化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．當(dāng)直線AB的斜率不存在時也滿足．由中線長定理可得|OA|²+|OB|²=

1

2

(|AB|2+4|OM|2)=7為定值．再利用基本不等式的性質(zhì)（|OA|+|OB|）²≤2（|OA|²+|OB|²）即可得出．

解答： 解：（1）∵離心率e=

1

2

=

c

a

，
∴可設(shè)a=2c，b=

3

c，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
設(shè)橢圓上的一點P(2ccosθ，

3

csinθ)，
則|PQ|=

(2ccosθ-1)2+( 3 csinθ)2

=

c2(cosθ- 2 c )2+3c2-3

，
當(dāng)0＜c≤2時，當(dāng)cosθ=-1時，|PQ|取得最大值2c+1，2c+1=3，解得c=1，滿足條件．
當(dāng)c＞2時，cosθ=

2

c

時，|PQ|取得最大值

3c2-3

，∴

3c2-3

=3，解得c=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1或

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△＞0，x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2m2 (3+4k2)2 - 4(4m2-12) 3+4k2 ]

=

4 (1+k2)(9+12k2-3m2)

3+4k2

．
原點O到直線AB的距離h=

|m|

1+k2

．
∵△ABO的面積為

3

，
∴

1

2

•

|m|

1+k2

•

4 (1+k2)(9+12k2-3m2)

3+4k2

=

3

．
化為2m²=3+4k²．
∵x0=

x1+x2

2

=

-4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

．
∴4|OM|²=

4(16k2m2+9m2)

(3+4k2)2

．
∴|AB|²+4|OM|²=

16(1+k2)(9+12k2-3m2)

(3+4k2)2

+

4(16k2m2+9m2)

(3+4k2)2

=14為定值．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時也滿足定值為14．
由中線長定理可得|OA|²+|OB|²=

1

2

(|AB|2+4|OM|2)=7為定值．
∴（|OA|+|OB|）²≤2（|OA|²+|OB|²）=14．
∴|OA|+|OB|的最大值為

14

．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、兩點之間的距離公式、中線長定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于較難題．