Question

如圖,設(shè)P為長(zhǎng)方形ABCD所在平面外一點(diǎn),M、N分別為AB、PD上的點(diǎn),且=,求證:直線MN∥平面PBC.

Answer 1

思路分析:要證直線MN∥平面PBC,只需證明MN∥平面PBC內(nèi)的一條直線或MN所在的某個(gè)平面∥平面PBC.

證法一：過N作NR∥DC交PC于點(diǎn)R,連結(jié)RB,依題意得

    ====NR=MB.

    ∵NR∥DC∥AB,

    ∴四邊形MNRB是平行四邊形.

    ∴MN∥RB.

    又∵RB平面PBC,

    ∴直線MN∥平面PBC.

證法二:過N作NQ∥AD交PA于點(diǎn)Q,連結(jié)QM,

    ∵==,

    ∴QM∥PB.

    又NQ∥AD∥BC,

    ∴平面MQN∥平面PBC.

    ∴直線MN∥平面PBC.

    證法三:過N作NR∥DC交PC于點(diǎn)R,連結(jié)RB,依題意有==,

    ∴=,=++=.

    ∴MN∥RB.

    又∵RB平面PBC,∴直線MN∥平面PBC.