Question

定義在R上的函數f（x）滿足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy  ②f(0)=0，f(

π

2

)=1．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（2）求f（x）；
（3）求f（x）+cosx+f（x）•cosx的最大值．

Answer 1

分析：（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函數
（2）分別令x=

π

2

，y=x，構造關于f（x）的方程求解
（3）即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值，設sinα+cosα=t=

2

sin(x+

π

4

)，轉化為關于t的函數求解．

解答：解：（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函數．
（2）令y=

π

2

，
得f(x+

π

2

)+f(x-

π

2

)=2f(x)cos

π

2

=0
令x=

π

2

，y=x，
得f(x+

π

2

)+f(

π

2

-x)=2f(

π

2

)cosx=2cosx
由（1），f（x）是奇函數，f(x-

π

2

)+f(

π

2

-x)=0
兩式相加：2f(x+

π

2

)=2cosx∴f(x)=cos(

π

2

-x)=sinx
（3）即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值
設sinα+cosα=t=

2

sin(x+

π

4

)，則t∈[-

2

，

2

]，
且t²=（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα，即sinα•cosα=

t2-1

2

∴y=t+

t2-1

2

=

1

2

t2+t-

1

2

，t∈[-

2

，

2

]∴t=

2

時，ymax=

2

+

1

2

點評：本題考查抽象函數問題，解決的關鍵是靈活準確地對x賦值．