Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)和焦距都等于2， 是橢圓上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過(guò)且斜率等于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.

（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；

（Ⅱ）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）, .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為（），則，解方程即可得解；

（Ⅱ）因?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，由（Ⅰ）可知的斜率，設(shè)方程為（且），與橢圓聯(lián)立得得，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離，結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可得解.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為（），則，解得，所以的方程為.

設(shè)，則，所以的斜率，因?yàn)?/span>，所以， 因?yàn)?/span> ，所以

（Ⅱ）因?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，由（Ⅰ）可知的斜率，設(shè)方程為（且），到的距離.

由得，所以.

所以

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為

此時(shí)直線的方程為，即