Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x²上異于坐標原點O的兩個不同動點A、B滿足AO⊥BO，如圖．

(1)求△AOB的重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程．

(2)△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設△AOB的重心G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　則∵OA⊥OB， 　　∴x1x2＋y1y2＝0． 　　又A、B在拋物線上， 　　∴y1＝x12，y2＝x22． 　　∴(x1x2)2＋x1x2＝0． 　　∵A、B不同于坐標原點O， 　　∴x1x2≠0．∴x1x2＝－1． 　　∴y1＋y2＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， 　　即3y＝(3x)2＋2． 　　∴y＝3x2＋． 　　此即重心G的軌跡方程． 　　(2)S△AOB＝|OA|·|OB|＝ 　　＝． 　　由(1)知x1x2＝－1，y1y2＝1且y1＝x12，y2＝x22． 　　∴S△AOB＝． 　　∵y＝3x2＋， 　　∴y≥且當x＝0時，y＝． 　　∴S△AOB≥＝1． 　　∴△AOB面積存在最小值，且最小值為1．

提示：

本題考查直線與拋物線的位置關系、軌跡問題、最值問題，考查推理運算能力及綜合運用知識解題能力．利用重心坐標公式及拋物線的性質解答本題．