Question

已知數(shù)列{a_n}中，，且，
（Ⅰ）求證：k=1；
（Ⅱ）設(shè)，f（x）是數(shù)列{g（x）}的前n項(xiàng)和，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求證：不等式對n∈N₊恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用中n=2，及a₁=1，得到a₃a₁=a₂a₁，即；再利用，得到，即可證明．
（II）利用“累成求積”即可得到g（x），再利用“錯位相減法”及等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出f（x）；
（III）利用（2）中f（x）的表達(dá)式，取x=2，則=（n-1）•2ⁿ+1，又，利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不等式對n∈N₊恒成立．
解答：（I）證明：∵，
∴，
又∵
則a₃a₁=a₂a₁，即，又，∴a₂=2k．
∴k+1=2k，解得k=1．
（2）∵，∴=n•（n-1）…2•1=n!
∵=nx^n-1
∴當(dāng)x=1時，，
當(dāng)x≠1時，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
得xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ
兩式相減得（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=
∴f（x）=
綜上所述：．
（3）利用（2）中f（x）的表達(dá)式，取x=2，
則=（n-1）•2ⁿ+1，
又，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不等式對n∈N₊恒成立．
易驗(yàn)證當(dāng)n=1，2，3時不等式恒成立； 
假設(shè)n=k（k≥3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1
兩邊乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2
又因?yàn)?（k-1）2^k-k•2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0
所以3^k+1＞k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k•2^k+1+1
即n=k+1時不等式成立．
故不等式恒成立．
點(diǎn)評：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“累成求積”、“錯位相減法”，及其數(shù)學(xué)歸納法，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．