Question

已知函數(shù)，在軸上的截距為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)取得極小值.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）能否找到函數(shù)垂直于軸的對(duì)稱軸，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)使關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同實(shí)根的實(shí)數(shù)的取值范圍為集合，且兩個(gè)非零實(shí)根為,試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）；（2）關(guān)于對(duì)稱；（3）不存在滿足題意的實(shí)數(shù).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，，；（2）假設(shè)存在關(guān)于直線對(duì)稱，取點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為：必在上，帶入計(jì)算求得的值，故存在真樣的對(duì)稱直線；（Ⅲ）首先為其一個(gè)零點(diǎn)，消去，得到有關(guān)另兩個(gè)零點(diǎn)的二次函數(shù)式，利用韋達(dá)定理，解得和,利用，進(jìn)而求得集合,恒成立問題，即為求最值問題，得到關(guān)于的不等式，解得無解，所以符合題中條件的不存在.

試題解析：（1）易知

又

由，得

令，得

由，得

由①②得

（2）若關(guān)于直線對(duì)稱（顯然），

則取點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)必在上，

即，得

又

驗(yàn)證，滿足

（也可直接證明，計(jì)算較繁瑣；）

（3）由（1）知，，

即

又為其一根，得

且

故

又，得，

，故且 ,

’

即只需

設(shè)

無解

即不存在滿足題意的實(shí)數(shù).

考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值；2.函數(shù)的對(duì)稱軸；3.函數(shù)恒成立問題.