Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件知S₁=a₁=1，S₂=4a₂=，S₃=9a₃=，S₄=16a₄=．
（2）猜想：，再用數(shù)學(xué)歸納法對這個猜想加以證明．
解答：解：（1）S₁=a₁=1
由題意知，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂
得
同理得，S₃=9a₃，即S₂+a₃=9a₃
得S₄=16a₄，即S₃+a₄=16a₄
得（4分）
（2）猜想：（7分）
證明：①當(dāng)，與已知相符，故結(jié)論成立（8分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即（9分）
由已知有S_k+1=（k+1）²a_k+1=（k+1）²（S_k+1-S_k）．
整理得∴（11分）
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立
綜上①②知，對（12分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，第（1）問要注意遞推公式的靈活運用，第二問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．