Question

已知平面向量a=(,)，b=()．若存在不為零的實數(shù)m，使得c=a+2xb，d=-ya+(m-2x²)b，且c⊥d．

    (Ⅰ)試求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；

    (Ⅱ)若m∈0(0，+∞)，當(dāng)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值為12時，求此時m的值．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵a·b==0，∴a⊥b．

∵c⊥d，∴c·d=0，又知a²=1，b²=1． 

∴c·d=(a+2xb)·[-ya+(m-2x²)b]=-y·a²+2x(m-2x²)·b²-2xya·b+(m-2x²)a·b

=-y+2x(m-2x²)=0．

∴y=2mx-4x³，故f(x)=2mx-4x³．

(Ⅱ)f(x)=2mx-4x³，則f′(x)=2m-12x²，其中m＞0，

由f′(x)=2m-12x²=0，解得x=.

當(dāng)0≤x＜時，f′(x)＞0，f(x)在[0，]上單調(diào)遞增；

當(dāng)x＞時，f′(x)＜0，f(x)在(，+∞)上單調(diào)遞減． 

①若≥1，即m≥6，則f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，此時f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值f(x)_max=f(1)=2m-4=12，解得m=8滿足條件.

②若＜1，即0＜m＜6，則f(x)在[0，]上單調(diào)遞增，在(，1)上單調(diào)遞減，則f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值f(x)_max=f()=2·m-4()³=12，解得m³=486，m=3＞6，不滿足0＜m＜6，舍去．

綜上所述，存在常數(shù)m=8，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值為12．