Question

已知關(guān)于x的函數(shù)，其導函數(shù)f′（x）．
（1）如果函數(shù)，試確定b、c的值；
（2）設(shè)當x∈（0，1）時，函數(shù)y=f（x）-c（x+b）的圖象上任一點P處的切線斜率為k，若k≤1，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）f′（x）=-x²+2bx+c，由題意可得，求得或，再驗證即可；
（2）當x∈（0，1）時，函數(shù)y=f（x）-c（x+b）=-x³+bx²，設(shè)圖象上任意一點P（x，y），依題意可求得k=-+2bx≤1恒成立，x∈（0，1）．設(shè)g（x）=，利用導數(shù)可得g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，從而可求得實數(shù)b的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=-x²+2bx+c
∵函數(shù)f（x）在x=1處有極值
∴（3分）
解得或（4分）
（i）當b=1，c=-1時，f′（x）=-（x-1）²≤0
所以f（x）在R上單調(diào)遞減，不存在極值
（ii）當b=-1，c=3時，f′（x）=-（x+3）（x-1）
x∈（-3，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
所以f（x）在x=1處存在極大值，符合題意．
綜上所述，滿足條件的值為b=-1，c=3（7分）
（2）當x∈（0，1）時，函數(shù)y=f（x）-c（x+b）=-x³+bx²，
設(shè)圖象上任意一點P（x，y），則k=y′=-+2bx，x∈（0，1），
因為k≤1，
所以對任意x∈（0，1），=-+2bx≤1恒成立（9分）
所以對任意x∈（0，1），不等式b≤恒成立
設(shè)g（x）=，則g′（x）=，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0
故g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減
所以對任意x∈（0，1），g（x）＞g（1）=1（12分）
所以b≤1．（14分）
點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題，著重考查分類討論思想與化歸思想的運用，屬于難題．