Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），判斷在上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)無零點，試確定正數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞增.(2).

【解析】

（1）先分析得到，即得函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出

，再對a分三種情況討論，討論每一種情況下的零點情況得解.

（1）因為，則，

，

∴，

∴在上單調(diào)遞增.

（2）由知，

由（1）知在上單調(diào)遞增，且，可知當時，，

則有唯一零點，設(shè)此零點為，

易知時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，

故，其中.

令，

則，

易知在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，且.

①當時，，由在上單調(diào)遞增知，

則，由在上單調(diào)遞增，，所以，故在上有零點，不符合題意；

②當時，，由的單調(diào)性知，則，此時有一個零點，不符合題意；

③當時，，由的單調(diào)性知，則，此時沒有零點.

綜上所述，當無零點時，正數(shù)的取值范圍是.