Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．傾斜角為$\frac{π}{3}$，且經(jīng)過定點(diǎn)P（0，1）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，并求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值．

Answer 1

分析 （I）由傾斜角為$\frac{π}{3}$，且經(jīng)過定點(diǎn)P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=1+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開：ρ²=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入圓C的方程為：t²-t-1=0，可得$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$即可得出．

解答 解：（I）由傾斜角為$\frac{π}{3}$，且經(jīng)過定點(diǎn)P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=1+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，化為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．
曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開：ρ²=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x+2y．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入圓C的方程為：t²-t-1=0，
t₁+t₂=1，t₁t₂=-1．
∴$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{1+4}}{1}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．