Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=

(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1

an+2tn-1

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若t＞0，試比較a_n+1與a_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意變形可得

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

記

an+1

tn-1

=bn可得即數(shù)列{

1

bn

}為首項(xiàng)公差均為

1

2

的等差數(shù)列，通過求其通項(xiàng)進(jìn)而求{a_n}的通項(xiàng)；
（2）由（1）的結(jié)論利用作差法可比較a_n+1與a_n的大小．

解答：解：（1）由原式變形得an+1=

2tn+1an-3an+2tn+1-2tn-1

an+2tn-1

=

2tn+1an+2tn+1-2an-2-an-2tn+1

an+2tn-1

=

2tn+1an+2tn+1-2an-2

an+2tn-1

-1
=

2tn+1(an+1)-2(an+1)

an+2tn-1

-1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

 -1，
即an+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

 -1，可得an+1+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

所以

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1)

an+1+2(tn-1)

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

．
記

an+1

tn-1

=bn，則bn+1=

2bn

bn+2

①，當(dāng)n=1時(shí)，b1=

a1+1

t-1

=

2t-2

t-1

=2．
又由①取倒數(shù)得 

1

bn+1

=

1

bn

+

1

2

，

1

b1

=

1

2

，即數(shù)列{

1

bn

}為首項(xiàng)公差均為

1

2

的等差數(shù)列，
從而有

1

bn

=

1

b1

+(n-1)•

1

2

=

n

2

，即 

an+1

tn-1

=

2

n

，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：an=

2(tn-1)

n

-1．
（2）由（1）可知an+1-an=

2(tn+1-1)

n+1

-

2(tn-1)

n

=

2(t-1)

n(n+1)

[n(1+t+…+tn-1+tn)-(n+1)(1+t+…+tn-1)]=

2(t-1)

n(n+1)

[ntn-(1+t+…+tn-1)]=

2(t-1)

n(n+1)

[(tn-1)+(tn-t)+…+(tn-tn-1)]=

2(t-1)2

n(n+1)

[(tn-1+tn-2+…+1)+t(tn-2+tn-3+…+1)+…+tn-1]，
顯然在t＞0（t≠1）時(shí)恒有a_n+1-a_n＞0，
故a_n+1＞a_n．

點(diǎn)評：本題為由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確變形利用倒數(shù)法構(gòu)造等差數(shù)列是解決問題的關(guān)鍵，屬難題．