Question

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BB₁=+1，E為BB₁上使B₁E=1的點(diǎn)，平面AEG交DD₁于F，交A₁D₁的延長線于G，求

（1）異面直線AD與C₁G所成角的大小；

（2）二面角AC₁GA₁的正切值.

Answer 1

解：（1）由AD∥D₁G，知∠C₁GD₁為異面直線AD與C₁G所成的角.如右圖所示，連結(jié)C₁F，因?yàn)?I >AE和C₁F分別是平行平面ABB₁A₁和CC₁D₁D與平面AEC₁G的交線，所以AE∥C₁F.由此可得D₁F=BE=.

再由△FD₁G∽△FDA,得D₁G=.

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G=，得∠C₁GD₁=.

(2)如圖所示，作D₁H⊥C₁G于H，連結(jié)FH，由三垂線定理，知FH⊥C₁G，故∠D₁HF為二面角FC₁GD₁，即二面角AC₁GA₁的平面角.

在Rt△GHD₁中，由D₁G=，∠D₁GH=,得D₁H=,從而tan∠D₁HF=