Question

9．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式 
（2）求數(shù)列{2^a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式 
（2）求出數(shù)列{2^a_n}的通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，
∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
∴a₃²=a₁a₉，
即（1+2d）²=1×（1+8d），------（2分）
∴d=0（舍）或d=1，------（2分）
∴a_n=n------（1分）
（2）令b_n=${2^{a_n}}={2^n}$------（1分）
∵$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{2^n}{{{2^{n-1}}}}=2$，為定常數(shù)
∴{b_n}是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列------（2分）
∴S_n=$\frac{{2*（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$------（2分）

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出d是解決本題的關(guān)鍵．