Question

若函數(shù)y=xlnx+a有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

Answer 1

由于函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=lnx+1=0，求得x=

1

e

．
在（0，

1

e

）上，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)，在（

1

e

，+∞）上，y′＞0，函數(shù)y是增函數(shù)，故當(dāng)x=

1

e

時(shí)，函數(shù)取得最小值．
要使函數(shù)有零點(diǎn)，需函數(shù)的最小值小于或等于零，即

1

e

•ln

1

e

+a≤0，∴a≤

1

e

，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

1

e

]，
故答案為 (-∞，

1

e

]．