Question

19．已知某種商品每日的銷售量y（單位：噸）與銷售價(jià)格x（單位：萬(wàn)元/噸，1＜x≤5）滿足：當(dāng)1＜x≤3時(shí)，y=a（x-4）²+$\frac{6}{x-1}$（a為常數(shù)）；當(dāng)3＜x≤5時(shí)，y=kx+7，已知當(dāng)銷售價(jià)格為3萬(wàn)元/噸時(shí)，每日可售出商品該4噸，當(dāng)銷售價(jià)格為5萬(wàn)元/噸時(shí)，每日可售出商品該2噸．
（1）求a，k的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）若該商品的銷售成本為1萬(wàn)元/噸，試確定銷售價(jià)格x的值，使得每日銷售該商品所獲利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)x=3時(shí)，y=4；求出a，x=5時(shí)，y=5；求出k，得到函數(shù)的解析式．
（2）當(dāng)1＜x≤3時(shí)，求出每日銷售利潤(rùn)的表達(dá)式，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值．當(dāng)3＜x≤5時(shí)，求出每日銷售利潤(rùn)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值求解最大值，推出結(jié)果．

解答 解：（1）因?yàn)閤=3時(shí)，y=4；所以a+3=4，得a=1…（2分）
因?yàn)閤=5時(shí)，y=5；所以5k+7=2，得k=-1…（4分）
故$y=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{（x-4）}^2}+\frac{6}{x-1}}&{1＜x≤3}\end{array}\\-x+7\begin{array}{l}{\;}&{\;}&{\;}&{3＜x≤5}\end{array}\end{array}\right.$…（5分）
（2）由（1）知，當(dāng)1＜x≤3時(shí)，
每日銷售利潤(rùn)$f（x）=[{（x-4）^2}+\frac{6}{x-1}]（x-1）$=x³-9x²+24x-10（1＜x≤3）…（6分）
f′（x）=3x²-18x+24．                                     …（7分）
令 f′（x）=3x²-18x+24＞0，解得x＞4或x＜2
所以f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，在[2，3]單調(diào)遞減       …（8分）
所以當(dāng)x=2，f（x）_max=f（2）=10，…（9分）
當(dāng)3＜x≤5時(shí)，每日銷售利潤(rùn)f（x）=（-x+7）（x-1）=-x²+8x-7=-（x-4）²+9…（10分）
f（x）在x=4時(shí)有最大值，且f（x）_max=f（4）=9＜f（2）…（11分）
綜上，銷售價(jià)格x=2萬(wàn)元/噸時(shí)，每日銷售該商品所獲利潤(rùn)最大．               …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．