Question

16．如圖，在等腰直角△ABO中，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，C為AB上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過C作AB的垂線l，設(shè)P為垂線上任一點(diǎn)，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{p}$，則$\overrightarrow{p}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 P在線段AB的垂直平分線上，通過向量的加減運(yùn)算，向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可得到結(jié)果．

解答 解：∵等腰直角△ABO中，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
C為AB上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過C作AB的垂線l，設(shè)P為垂線上任一點(diǎn)，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{p}$，
設(shè)AB中點(diǎn)為D，則$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$．
∵$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
∴$\overrightarrow{p}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CP}$）•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$+0=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{{\overrightarrow{OB}}^{2}}{3}$-$\frac{{2\overrightarrow{OA}}^{2}}{3}$+$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{3}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{3}$+0=-$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段垂直平方線的性質(zhì)、向量的運(yùn)算法則、向量模的平方等于向量的平方，考查轉(zhuǎn)化計(jì)算能力，屬于中檔題．