Question

7．已知圓x²+y²+8x-4y=0與圓x²+y²=20關于直線y=kx+b對稱，
（1）求k、b的值；
（2）若這時兩圓的交點為A、B，求∠AOB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出兩圓的圓心坐標，進而求得兩圓的圓心的中垂線的方程，根據(jù)直線y=kx+b即為OA的中垂線，求出k與b的值．
（2）公共弦所在的直線2x-y+5=0，利用點到直線的距離公式求出弦心距d，由cos $\frac{∠AOB}{2}$=$\fracpmshszg{r}$ 求得 $\frac{∠AOB}{2}$的值，即可得到∠AOB的度數(shù)．

解答 解：（1）圓x²+y²+8x-4y=0即（x+4）²+（y-2）²=20，表示以A（-4，2）為圓心，以2$\sqrt{5}$ 為半徑的圓．
圓x²+y²=20的圓心為O（0，0），半徑等于2$\sqrt{5}$，
故OA的中點為C（-2，1），OA的斜率為$\frac{1-0}{-2-0}$=-$\frac{1}{2}$，故OA的中垂線的斜率等于2，
故OA的中垂線的方程為 y-1=2（x+2），即 y=2x+5．
由題意可得，直線y=kx+b即為OA的中垂線，故k與b的值分別等于2和5，
（2）由上可知，直線y=kx+b即y=2x+5，即2x-y+5=0，且此直線是公共弦所在的直線．
弦心距為d=$\frac{|0-0+5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，故cos$\frac{∠AOB}{2}$=$\frac9kx9lh9{r}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{∠AOB}{2}$=60°
故∠AOB=120°．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，兩點關于某直線對稱的性質(zhì)，屬于中檔題．