Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)。（1）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）設0＜a＜b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）假設存在一個實數(shù)λ，使{a_n}是等比數(shù)列，則有a₂²=a₁a₃，
即
矛盾
所以{a_n}不是等比數(shù)列。
（2）因為b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）

又b₁=-（λ+18）
所以
當λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此時{b_n}不是等比數(shù)列
當λ≠-18時，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴
故當λ≠-18時，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-為公比的等比數(shù)列。
（3）由（2）知，當λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求
∴λ≠-18，
故知b_n=-（λ+18）·，于是可得

要使a＜S_n＜b對任意正整數(shù)n成立，
即a＜-（λ+18）·[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得
令f（n）=1-（-）ⁿ
則①當n為正奇數(shù)時，；
當n為正偶數(shù)時，，
∴f（n）的最大值為f（1）=，f（n）的最小值為f（2）=
于是，由①得a＜-（λ+18）＜
當a＜b≤3a時，由-b-18≥-3a-18，不存在實數(shù)滿足題目要求；
當b＞3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）。