Question

5．已知定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，則函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x）-e的零點所在區(qū)間是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，3）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由設(shè)t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，則方程f（x）-f′（x）=e的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，根據(jù)零點存在定理即可判斷．

解答 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-lnx為定值，
設(shè)t=f（x）-lnx，
則f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
則f（x）=lnx+e，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（x）-f′（x）=lnx+e-$\frac{1}{x}$=e，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
則方程f（x）-f′（x）=e的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
而h（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，h（1）=ln1-1＜0，
∴方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解所在區(qū)間為（1，2），
∴方程f（x）-f′（x）=e的解所在區(qū)間為（1，2），
故選：A．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算和零點存在定理，關(guān)鍵是求出f（x），考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．