Question

11．已知f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）的最小值為0，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知f（x）的最小值為0，可得極小值也為0，得f′（0）=0，從而求出a的值，則函數(shù)解析式可求．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）的定義域?yàn)椋?a，+∞），
f′（x）=1-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{x+a-1}{x+a}$，（x+a＞0）
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a，
令f′（x）＞0，x＞1-a，f（x）為增函數(shù)；
f′（x）＜0，-a＜x＜1-a，f（x）為減函數(shù)；
∴x=1-a時(shí)，函數(shù)取得極小值也是最小值，
∵函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，
∴f（1-a）=1-a=0，得a=1．
∴f（x）=x-ln（x+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查函數(shù)解析式的求法，是中檔題．