Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R且a≠0），
（1）當(dāng)時(shí)，f（sinx）的最大值為，求f（x）的最小值．
（2）若時(shí)，|f（sinx）|≤1恒成立，求a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得：，令t=sinx∈[-1，1]則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)t=1即時(shí)，f（sinx）有最大值，
可得，進(jìn)而求出二次函數(shù)的解析式，即可得到函數(shù)的最小值．
（2）由題意得：-1≤asin²x+sinx≤1，令t=sinx則t∈[0，1]，可得-1≤at²+t≤1對(duì)任意t∈[0，1]恒成立，分別討論：當(dāng)x=0時(shí)（此時(shí)顯然成立）與當(dāng)x≠0時(shí)，對(duì)任意t∈[0，1]恒成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，進(jìn)而得到答案．
解答：解：（1）由題意可得：，
∴．
令t=sinx∈[-1，1]則，
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)t=1即sinx=1（k∈Z）時(shí)，f（sinx）有最大值，
∴
所以，
所以f_min（x）=f（2）=-1．
（2）由|f（sinx）|≤1得：-1≤asin²x+sinx≤1，
令t=sinx則t∈[0，1]，
∴-1≤at²+t≤1對(duì)任意t∈[0，1]恒成立
當(dāng)x=0時(shí)，f（t）=0使|f（sinx）|≤1成立
當(dāng)x≠0時(shí)，對(duì)任意t∈[0，1]恒成立，
∵t∈[0，1]，
∴則；，
∴-2≤a≤0，
故a的范圍[-2，0]．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即二次函數(shù)定區(qū)間內(nèi)求最值，本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．