Question

3．已知數(shù)列{a_n}共有9項(xiàng)，其中，a₁=a₉=1，且對每個(gè)i∈{1，2，…，8}，均有$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，則數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 729
• B． 491
• C． 490
• D． 243

Answer 1

分析 令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$，則對每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，滿足$\sum_{i=1}^{8}_{i}$=$\sum_{i=1}^{8}$=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$=$\frac{{a}_{9}}{{a}_{1}}$=1，且b_i∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，1≤i≤8．反之，由符合上述條件的八項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合題設(shè)條件的九項(xiàng)數(shù)列{a_n}．由此能求出結(jié)果．

解答 解：令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤8），則對每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，
滿足$\sum_{i=1}^{8}_{i}$=$\sum_{i=1}^{8}$$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$+$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$+$\frac{{a}_{8}}{{a}_{7}}$+$\frac{{a}_{8}}{{a}_{9}}$=1，且b_i∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，1≤i≤8．
反之，由符合上述條件的八項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合題設(shè)條件的九項(xiàng)數(shù)列{a_n}．
記符合條件的數(shù)列{b_n}的個(gè)數(shù)為N，
由題意知b_i（1≤i≤8）中有2k個(gè)-$\frac{1}{2}$，2k個(gè)2，8-4k個(gè)1，
且k的所有可能取值為0，1，2．
共有1+C₈²C₆²+C₈⁴C₄⁴=491個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)比值之和的求法，考查滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．