Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8．設函數(shù)H₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，H₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），f（x）≥g（x）}\\{f（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，記H₁（x）的最小值為A，H₂（x）的最大值為B，則A-B（　�。�

• A． 16
• B． -16
• C． a²+2a-16
• D． a²-2a-16

Answer 1

分析 作差f（x）-g（x）=2x²-4ax+2a²-8=2（x-a-2）（x-a+2），從而化簡H₁（x）與H₂（x），從而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，從而解得．

解答 解：f（x）-g（x）=2x²-4ax+2a²-8=2（x-a-2）（x-a+2），
故當x≥a+2或x≤a-2時，f（x）≥g（x）；
當a-2＜x＜a+2時，f（x）＜g（x），
∵H₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，H₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），f（x）≥g（x）}\\{f（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，
∴H₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2（a+2）x+{a}^{2}，x≥a+2或x≤a-2}\\{-{x}^{2}+2（a-2）x-{a}^{2}+8，a-2＜x＜a+2}\end{array}\right.$，
H₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2（a-2）x-{a}^{2}+8，a-2≤x≤a+2}\\{{x}^{2}-2（a+2）x+{a}^{2}，x＞a+2或x＜a-2}\end{array}\right.$，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
A=H₁（a+2）=（a+2）²-2（a+2）（a+2）+a²=-4a-4，
B=H₁（a-2）=-（a-2）²+2（a-2）（a-2）-a²+8=-4a+12，
故A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16，
故選B．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及二次函數(shù)的應用，同時考查了分類討論的思想應用．