Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，E，F(xiàn)，G分別為PA，PB，PC的中點，直線PB⊥平面EFG，AB=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{1}{3}AD$=1．
（1）若點M∈平面EFG，且與點E不重合，判斷直線EM與平面ABCD的關(guān)系，并說明理由；
（2）若PB=4，求四棱錐C-ABFE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質(zhì)結(jié)合面面平行的判定定理得到面EFG∥面ABCD，然后可得直線EM∥平面ABCD；
（2）C到平面ABEF的距離為AD=3，梯形ABEF中，EF=$\frac{1}{2}$，AB=1，高BF=2，面積為$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}+1）×2$=$\frac{3}{2}$，直接代入棱錐的體積得答案．

解答 解：（1）如圖，直線EM∥平面ABCD．
事實上：
∵E，F(xiàn)，G分別為PA，PB，PC的中點，
∴EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EF∩FG=F，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABC，
∵點M∈平面EFG，且與點E不重合，∴直線EM∥平面ABCD；
（2）∵直線PB⊥平面EFG，∴C到平面ABEF的距離為AD=3
梯形ABEF中，EF=$\frac{1}{2}$，AB=1，高BF=2，面積為$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}+1）×2$=$\frac{3}{2}$，
∴四棱錐C-ABFE的體積V=$\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•3$=$\frac{3}{2}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．