Question

7．在區(qū)間（0，4]內隨機取兩個數(shù)a、b，則使得“命題‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’為真命題”的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由題意在區(qū)間（0，4]內隨機的取兩個數(shù)a，b，求出（a，b）對應的平面區(qū)域的面積，利用“命題‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’為真命題”時△=a²-4b²＜0，即|a|＜|2b|，求出滿足條件的平面區(qū)域的面積，代入幾何概型計算公式，即可求出答案．

解答 解：在區(qū)間（0，4]內隨機的取兩個數(shù)a，b，
點（a，b）對應的平面區(qū)域如下圖中矩形所示：
若“命題‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’為真命題”，
則a²-4b²＜0，即|a|＜|2b|對應的平面區(qū)域如下圖中陰影所示：

∵S_矩形=4×4=16，
S_陰影=16-$\frac{1}{2}$×4×2=12，
∴“命題‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’為真命題”的概率為
P=$\frac{12}{16}$=$\frac{3}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查了幾何概型的應用問題，幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關，是基礎題目．