Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦點在x軸上，以橢圓右頂點為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=16x．
（1）求橢圓C的離心率
（2）若動直線l的斜率為$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且與橢圓C交于不同的兩點M、N，已知點Q$（-\sqrt{2}，0）$，求$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）y²=16x的焦點坐標(biāo)為（4，0），所以a=4，可得c=$\sqrt{14}$，即可求出橢圓C的離心率；
（2）設(shè)直線l方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答 解：（1）y²=16x的焦點坐標(biāo)為（4，0），所以a=4，
所以c=$\sqrt{14}$，
所以橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{14}}{4}$；
（2）設(shè)直線l方程為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+b．
與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得5x²-8$\sqrt{2}$bx+（8b²-16）=0
因為直線l與橢圓C交于不同兩點，所以△=128b²-20（8b²-16）＞0，
解得-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$b，x₁x₂=$\frac{8^{2}-16}{5}$，
y₁y₂=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁+b）（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+b）=$\frac{^{2}-8}{5}$，
所以$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$=（x₁+$\sqrt{2}$，y₁）•（x₂+$\sqrt{2}$，y₂）=x₁x₂+$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+y₁y₂+2=$\frac{9^{2}+16b-14}{5}$，
因為-$\sqrt{10}$＜b＜，所以當(dāng)b=-$\frac{8}{9}$時，$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$取得最小值-$\frac{38}{9}$．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．