Question

（08年聊城市二模）（12分） 如圖，在四棱錐P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中點(diǎn)。

   （I）求證：EC∥平面APD；

   （II）求BP與平面ABCD所成角的正切值；

   （III）求二面角P―AB―D的正切值。

 

Answer 1

解析：（I）取PA中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FD，∵E是BP的中點(diǎn)，

∵EF∥AB且EF=AB，又∵DC∥AB，DC=AB，

∴EFDC，∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC∥FD。          …………2分

又∵EC平面PAD，F(xiàn)D平面PAD，

∴EC∥平面ADP。                                            …………4分

   （II）設(shè)，

∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°。如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，過(guò)D點(diǎn)且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系�！�………5分

平面ABCD的一個(gè)法向量為                          …………7分

所以，，

可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為

所以PB與平面ABCD所成角的正切值為                      …………10分

   （III）易知，

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，

 

得

所以二面角P―AB―D的正切值為                           …………12分