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【題目】如圖，過橢圓： 的左右焦點分別作直線， 交橢圓于與，且.

（1）求證：當直線的斜率與直線的斜率都存在時， 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析: (1)設 ,分別將坐標代入橢圓中,得出兩等式,相減得出 ,寫出的表達式,化簡得出結果; (2)設直線 的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求出 ,算出的表達式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四邊形面積的最大值.

試題解析: （1）設, ,根據對稱性，有，因為, 都在橢圓上，所以， ，二式相減得， ，所以為定值.

（2）當的傾斜角為時， 與重合，舍去.

當的傾斜角不為0時，由對稱性得四邊形為平行四邊形， ，設直線的方程為，代入，得.顯然， ， .

所以

設，所以， .所以.

當且僅當即時等號成立，所以.

所以平行四邊形面積的最大值為.

點睛: 本題主要考查直線與橢圓相交時的有關知識,考查學生分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.解題技巧: 在(1)中,采用設而不求;在(2)中, 設直線 的方程比 好,因為聯(lián)立直線與橢圓方程計算量減少,還有,由韋達定理可求出.在求三角形面積最大值時,將 看成一個整體,利用基本不等式求出最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題：
·（1）y=|cos（2x+ ）|最小正周期為π；
·（2）函數(shù)y=tan 的圖象的對稱中心是（kπ，0），k∈Z；
·（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣ ， ）上有3個零點；
·（4）若 ∥ ， ，則
其中錯誤的是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù) ． （I）求 的值；
（II）若f（a）＞f（﹣a），求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校計劃面向高一年級名學生開設校本選修課程，為確保工作的順利實施，先按性別進行分層抽樣，抽取了名學生對社會科學類，自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調查，其中男生有人.在這名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為人.

（Ⅰ）分別計算抽取的樣本中男生及女生選擇社會科學類的頻率，并以統(tǒng)計的頻率作為概率，估計實際選課中選擇社會科學類學生數(shù)；

（Ⅱ）根據抽取的名學生的調查結果，完成下列列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為科類的選擇與性別有關？

選擇自然科學類

選擇社會科學類

合計

男生

女生

合計

附： ，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】面對全球范圍內日益嚴峻的能源形勢與環(huán)保壓力，環(huán)保與低碳成為今后汽車發(fā)展的一大趨勢，越來越多的消費者對新能源汽車表示出更多的關注，某研究機構從汽車市場上隨機抽取N輛純電動汽車調查其續(xù)航里程（單次充電后能行駛的最大里程），被調查汽車的續(xù)航里程全部介于100公里和450公里之間，根據調查數(shù)據形成了如圖所示頻率分布表及頻率分布直方圖．

頻率分布表

分組

頻數(shù)

頻率

[100，150）

1

0.05

[150，200）

3

0.15

[200，250）

x

0.1

[250，300）

6

0.3

[300，350）

4

0.2

[350，400）

3

y

[400，450]

1

0.05

合計

N

1

（1）試確定頻率分布表中x，y，N的值，并補全頻率分布直方圖；

（2）若從續(xù)航里程在[200，250）及[350，400）的車輛中隨機抽取2輛車，求兩輛車續(xù)航里程都在[350，400）的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+x2+mx在x=1處有極小值，

g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx．

（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)a，對任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于不同兩點，（都在軸上方），且.

（ⅰ）若點的橫坐標為1，求的面積；

（ⅱ）直線是否恒過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

已知直線l經過點，傾斜角，圓的極坐標方程為．

（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓的方程化為直角坐標方程；

（Ⅱ）設l與圓相交于兩點，求點到兩點的距離之積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義：若函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間D上任取兩個實數(shù)x1、x2 ， 且x1≠x2 ， 都有 ，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有性質L．
（1）寫出一個在其定義域上具有性質L的對數(shù)函數(shù)（不要求證明）．
（2）對于函數(shù) ，判斷其在區(qū)間（0，+∞）上是否具有性質L？并用所給定義證明你的結論．
（3）若函數(shù) 在區(qū)間（0，1）上具有性質L，求實數(shù)a的取值范圍．

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