Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的2個焦點與1個短軸端點為頂點的三角形的面積為2。

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點F，且與橢圓交與A，B兩點，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為，求直線l的方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根據橢圓的離心率，三角形的面積建立方程，結合a2＝b2+c2，即可求橢圓C的方程；

（2）聯立直線方程與橢圓聯立，利用韋達定理表示出及，結合弦的長度為，即可求斜率k的值，從而求得直線方程。

解：（1）由橢圓的離心率為，

得，.

由得， ，所以橢圓方程為．

（2）解：設直線，，，中點．

聯立方程得，

.．

所以，

點到直線的距離為．

由以線段為直徑的圓截直線所得的弦的長度為得

，所以，

解得，所以直線的方程為或．