Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點(diǎn).

(Ⅰ)求PA與底面ABCD所成角的大��；

(Ⅱ)求證：PA⊥平面CDM；

(Ⅲ)求二面角D-MC-B的余弦值.

Answer 1

解：(1)取0C的中點(diǎn)O,由△PDC是正三角形,有PO⊥DC.又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCD于O.連接OA,則OA是PA在底面上的射影.∴∠PAO就是PA與底面所成角.∵∠ADC=60°,由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形,從而求得OA=OP=.  ∴∠PAO=45°.∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°.

(Ⅱ)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,

有OA⊥DC.建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則

A(,0,0),P(0,0,),D(0,-1,0),B(,2,0),C(0,1,0).由M為PB中點(diǎn),∴M(,1,).

∴=(,2,),=(,0,),=(0,2,0).

∴=×+2×0+()=0,=0×+2×0+0×()=0.

∴PA⊥DC,PA⊥DC.  ∴PA⊥平面DMC.

(Ⅲ)=(,0,),=(,1,0).令平面BMC的法向量n=(x,y,z),

則n·=0,從而x+z=0；    ①

n·=0,從而=0.    ②

由①②,取x=-1,則y=,z=1.  ∴可取n=(-1,,1).

由(Ⅱ)知平面CDM的法向量可取=(,0,),

∴cos=

∴所求二面角的余弦值為.