Question

已知函數(shù)f(x)=ax²+4x+b(a、b∈R,a＜0),設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=0的兩實(shí)根為x₁和x₂，f(x)=x的兩實(shí)根為α和β.

(1)若a、b均為負(fù)整數(shù)，|α-β|=1,求f(x)的解析式；

(2)若α＜1＜β＜2,求證：x₁x₂＜2.

Answer 1

(1)解：由題意，α、β是方程ax²+3x+b=0的兩根，∴α+β=-,α·β=.

1=|α-β|=即a(a+4b)=9.

∵a、b均為負(fù)整數(shù)，∴a與a+4b都是負(fù)整數(shù).用兩組約數(shù)(-1,-9)及(-3，-3)試算知a=-1,a+4b=-9,∴a=-1,b=-2.

∴f(x)=-x²+4x-2.

(2)證明：∵α、β是方程f(x)=x的兩根，即f(x)-x=0,ax²+3x+b=0的兩根.

記g(x)=ax²+3x+b,∵α＜1＜β＜2,

∴(如下圖)，

即

∴-2a-2b＜6＜-4a-b.∴2a＜b.

又a＜0,∴＜2.

而x₁、x₂是方程f(x)=0的兩根，即ax²+4x+b=0的兩根,

∴x₁x₂=＜2.