Question

已知曲線C：f（x）=x³-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）過C外一點A（1，0）引C的兩條切線，若它們的傾斜角互補，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²-a，…（1分）
因為f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以f'（x）≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立．  （4分）
a≤3x²恒成立．因為當(dāng)1≤x≤2時3x²≥3，可得a≤3．                       …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x²-a，過點A（1，0）作曲線C的切線，
設(shè)切點（x₀，f（x₀）），則切線方程為：y=（3x₀-a）（x-1）…（9分）
將（x₀，f（x₀））代入得：f(x0)=

x

30

-ax0+a即2

x

30

-3x0=0   （*）
解得x₀=0或x₀=

3

2

         …（12分）
故滿足條件的切線只有兩條，且它們的斜率分別為-a與

27

4

-a，
因為兩條切線的傾斜角互補，所以-a+

27

4

-a=0，解得a=

27

8

．         …（14分）