Question

12．已知邊長為2$\sqrt{3}$的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角邊BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為28π．

Answer 1

分析 設兩三角形外心分別為O₂，O₃，球心為O，BD中點為O₁，由題意知∠AO₁C=120°，OO₁=2，OO₃=$\sqrt{3}$，由此求出球半徑，從而能求出四面體的外接球的表面積．

解答 解：如圖，設兩三角形外心分別為O₂，O₃，球心為O，BD中點為O₁，
由題意知∠AO₁C=120°，
∴OO₁=2，OO₃=$\sqrt{3}$，
∴球半徑OC=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴四面體的外接球的表面積為S=4$π×（\sqrt{7}）^{2}$=28π．
故答案為：28π．

點評 本題主要考查了四面體外接球的表面積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．