Question

3．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$．在直角坐標系中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數）．求曲線C上的點到直線l的距離的最大值及相應點的坐標．

Answer 1

分析 直線l的極坐標方程化為普通方程，設出曲線C的點的坐標，利用點到直線的距離公式得到關系式，然后求解即可．

解答 解：直線l的直角坐標方程為x+y-4=0
設曲線C上點P的坐標為$（2+\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，
∴P點到直線l：x+y-4=0的距離$d=\frac{{|2+\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-2|}}{{\sqrt{2}}}$
當且僅當$sin（θ+\frac{π}{3}）=-1$，即$θ+\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+2kπ$，$θ=2kπ-\frac{5π}{6}（k∈Z）$時，d取得最大值$2\sqrt{2}$，此時$cosθ=cos（2kπ-\frac{5π}{6}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，sinθ=sin（2kπ-\frac{5π}{6}）=-\frac{1}{2}$
即$P（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$
故曲線C上的點到直線l的距離的最大值為$2\sqrt{2}$，相應點的坐標為$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查直線的極坐標方程與普通方程的互化，點到直線的距離以及三角函數的最值的求法，考查計算能力．