Question

設函數(shù)f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）討論g（t）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與最值的關(guān)系求出函數(shù)的最小值，從而求出g（t），
（2）首先求出函數(shù)g（t）的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系求出g（t）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性和極值．

解答：解：（1）由題意得數(shù)f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4
=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=（sinx-t）²+4t³-3t+4，
又由|t|≤1，可得，當sinx=t時，（sinx-t）²取得最小值，
此時函數(shù)f（x）取得最小值，即g（x）=4t³-3t+4，
（2）g（x）=4t³-3t+4，則g′（x）=12t²-3t，t∈（-1，1），
令g′（x）=0可得t=±

1

2

，
列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

易得g（x）在區(qū)間（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）上為增函數(shù)，在區(qū)間（-

1

2

，

1

2

）上為減函數(shù)，
當t=-

1

2

時，g（t）取極大值為4，
當t=

1

2

時，g（t）取極小值為2．

點評：熟練掌握函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系，并會熟練運用其相關(guān)性質(zhì)．