Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2+y2=64,圓O1與圓O相交,圓心為O1(9,0),且圓O1上的點(diǎn)與圓O上的點(diǎn)之間的最大距離為21.

(1) 求圓O1的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 過(guò)定點(diǎn)P(a,b)作動(dòng)直線(xiàn)l與圓O,圓O1都相交,且直線(xiàn)l被圓O,圓O1截得的弦長(zhǎng)分別為d,d1.若d與d1的比值總等于同一常數(shù)λ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)及λ的值.

Answer 1

 (1)由題設(shè),得圓O1的半徑為4,所以圓O1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-9)2+y2=16.

(2) 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)l為y-b=k(x-a),即kx-y-ak+b=0.

則點(diǎn)O,O1到直線(xiàn)l的距離分別為h=,

h1=,

從而,d=2,

d1=2.

由=λ,得

64-=λ2,

整理得[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b2-λ2(16-b2)=0.

由題意,上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)k恒成立,

所以

由2b[a-λ2(a-9)]=0,得b=0或a-λ2(a-9)=0.

①如果b=0,則64-16λ2=0,解得λ=2(舍去負(fù)值).從而a=6或18,

所以λ=2,點(diǎn)P(6,0),P(18,0).

②如果a-λ2(a-9)=0,顯然a=9不滿(mǎn)足,從而λ2=,

所以3a2-43a+192=0.

但Δ=432-4×3×192=-455<0,因此該方程無(wú)實(shí)數(shù)根,舍去.

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,0)時(shí),若直線(xiàn)l的斜率不存在,此時(shí)d=4,d1=2,所以=2,也滿(mǎn)足.

綜上所述,滿(mǎn)足題意的λ=2,點(diǎn)P有兩個(gè),坐標(biāo)分別為(6,0)和(18,0).