Question

設(shè)橢圓E：（a＞b＞0）過M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）橢圓E過M、N
∴
∴
∴橢圓E：
（2）假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線為y=kx+m，
由
∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²﹣8=0
當(dāng)△=16k²m²﹣4（1+2k²）（2m²﹣8）=8（8k²﹣m²+4）＞0

，
要使
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴
∴3m²﹣8k²﹣8=0
∴
又 8k²﹣m²+4＞0
∴
∴
∴
又y=kx+m與圓心在原點(diǎn)的圓相切
∴，即，
∴所求圓：
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為，與橢圓交于（，）或（，），滿足
綜上：存在這樣的圓滿足條件
∵
當(dāng)k≠0時(shí)，
∴（當(dāng)時(shí)取等）
當(dāng)k=0時(shí)，
當(dāng)k不存時(shí)，
∴