Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，n∈N₊，記bn=

an-2

an+1

．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列b_n是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 若a_n≤t•4ⁿ對任意n∈N₊恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：a1+a2+a3+…+an＞2n+

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件先得an+1=

3an+2

an+2

，再分別表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，兩式相除，可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=

1+2×4n

4n-1

，對a_n≤t•4ⁿ分離參數(shù)得t≥

2+ 1 4n

4n-1

，從而可解；
（Ⅲ）由于an=

2•4n+1

4n-1

=2+

3

4n-1

＞2+

3

4n

，利用放縮法可證．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，∴an+1=

3an+2

an+2

，∴an+1-2=

an-2

an+2

，an+1+1=

4(an+1)

an+2

兩式相除得bn+1=

1

4

bn，b1=

1

4

∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=

1

4n

=

an-2

an+1

，∴an=

1+2×4n

4n-1

由a_n≤t•4ⁿ得t≥

2+ 1 4n

4n-1

易得

2+ 1 4n

4n-1

是關(guān)于n的減函數(shù)，∴

2+ 1 4n

4n-1

≤

3

4

，∴t≥

3

4

（8分）
（Ⅲ）an=

2•4n+1

4n-1

=2+

3

4n-1

＞2+

3

4n

．∴a1+a2++an＞(2+

3

4

)+(2+

3

42

)++(2+

3

4n

)=2n+(

3

4

+

3

42

++

3

4n

)
=2n+

3

4

•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=2n+1-(

1

4

)n≥2n+

3

4

．∴a1+a2+a3++an＞2n+

3

4

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng)，考查分離參數(shù)法求解恒成立問題，考查放縮法證明不等式，屬于中檔題．