Question

若兔子和狐貍的生態(tài)模型為

Rn=1.1Rn-1-0.3Fn-1 Fn=0.2Rn-1+0.4Fn-1

（n≥1），對初始群α0=

R0 F0

=

100 50

，討論第n年種群數(shù)量α_n及當n越來越大時，種群數(shù)量α_n的變化趨勢．

Answer 1

分析：欲討論第n年種群數(shù)量α_n及當n越來越大時，種群數(shù)量α_n的變化趨勢，根據(jù)兔子和狐貍的生態(tài)模型可知，只須求出α_n=Mⁿα₀，關鍵是求出Mⁿ，故先求出矩陣M的特征向量，再利用特征向量進行計算即可．

解答：解：αn=

Rn Fn

，M=

1.1 -0.3 0.2 0.4

，α_n=Mα_n-1=M（Mα_n-2）=M²α_n-2═Mⁿα₀
M的特征值λ₁=1，對應的特征向量α1=

3 1

，λ2=0.5
對應的特征向量
α2=

1 2

，α0=

R0 F0

=

100 50

=30

3 1

+10

1 2

=30α₁+10α₂，α_n=Mⁿα₀=30λ₁ⁿα₁+10λ₂ⁿα₂
=30

3 1

+10×(0.5)n

1 2

=

90+10×(0.5)n 30+20×(0.5)n

，
當n越來越大時，（0.5）ⁿ趨向于0，
α_n趨向于

90 30

，即兔子和狐貍的數(shù)量趨于穩(wěn)定在90和30．

點評：本題主要考查了矩陣特征值與特征向量的計算及應用等基礎知識，屬于基礎題．