Question

10．設(shè)x，y∈R，滿足$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{5}+2x+sin（x-1）=3}\\{（y-1）^{5}+2y+sin（y-1）=1}\end{array}\right.$，則x+y=（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)f（t）=t⁵+2t+sint，利用函數(shù)f（t）的奇偶性和單調(diào)性解方程即可．

解答 解：∵（x-1）⁵+2x+sin（x-1）=3，
∴（x-1）⁵+2（x-1）+sin（x-1）=3-2=1，
∵（y-1）⁵+2y+sin（y-1）=1，
∴（y-1）³+2（y-1）+sin（y-1）=1-2=-1，
設(shè)f（t）=t⁵+2t+sint，
則f（t）為奇函數(shù)，且f'（t）=5t⁴+2+cost＞0，
即函數(shù)f（t）單調(diào)遞增．
由題意可知f（x-1）=1，f（y-1）=-1，
即f（x-1）+f（y-1）=1-1=0，
即f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y），
∵函數(shù)f（t）單調(diào)遞增
∴x-1=1-y，
即x+y=2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)f（t）是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．